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Desi

Der EDV-Dompteur im Zivilmodus

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1

Sonntag, 2. November 2014, 00:24

Primzahlen

Ich begeistere mich ja schon lange für Primzahlen.
In der Technik sind sie nicht nur für Verschlüsselungstechniken von Bedeutung. Bei schnelldrehenden Turbinen verhindern sie Resonanzeffekte, wenn die Anzahl der Rotorblätter eine Primzahl ist.
Auch beim Abstimmen von Drehzahlen mehrerer Motoren kommt man bei manchen Aufgabenstellungen indirekt mit ihnen zu tun. Wenn ein kleinster gemeinsamer Vielfacher gefunden werden muss und so.

Wer das Primzahlproblem aus den bekannten Millenniumsrätseln knackt, dem winkt ein Preisgeld von einer Million Dollar!
Aber auch viele philosophische Fragen und mystische Aspekte haben Berührpunkte zu den Primzahlen.

Die Zahlen 5 und 7 haben allerhand besondere Eigenschaften, was mir "intuitiv" schon lange bewusst ist. Mit kurzen und exakten Begründungen, die das für jedermann ruckzuck nachvollziehbar machen, tue ich mich dabei allerdings schwer.
Immerhin haben diese beiden Zahlen auch in der Mystik seit jeher einen besonderen Platz.

Trotz der simplen Idee, war mir das hier neu:
http://www.primzahlen.de/referenten/Karl…ssindZahlen.pdf

Interessant im obigen Dokument finde ich, dass die dort beschriebenen Helix-Strukturen ausgerechnet bei Fünfer- und Siebenerteilung in Erscheinung treten.
Mir dämmern da einige technische Anwendbarkeiten. Z.B. in der Strömungslehre, bei Wirbelrohren, oder bei Ultraschallreinigern. Aber auch bei Funkanwendungen, oder bei der Datenübertragung per Glasfaserleitung.
Vielleicht auch in der Datenrekonstruktion, bei teilweise gestörten Übertragungen. Oder bei der Datenkomprimierung.

Kürzlich kam ich auf die Idee, ein Zahlensystem zu kreieren, das wie das Binärsystem nur mit den Ziffern 0 und 1 arbeitet; im Gegensatz dazu aber mit einem primzahlbasierten Stellensystem.
Ein solches Zahlensystem würde mehr Stellen benötigen, als das Binärsystem. Und es gäbe "Lücken", in Form "unerlaubter Zahlendarstellungen".
Ich tue mich schwer mit der Vermittlung des Sinns hinter der Vision. Jedenfalls habe ich im Urin, dass sich damit manche komplexe Berechnung vereinfach lässt.

Ganz ähnlich, wie ein ComputerDaten nur addieren verschieben kann, nicht mehr. Dennoch ist er in der Lage, durch wiederholte Operationen dieser Art jedwede Berechnung durchzuführen.
Aber manche Berechnungen sind nach obigem Verfahren eben doch umfangreich.

Allein um eine Zahl mit 10 zu multiplizieren, muss der Computer die binäre Repräsentation der Ursprungszahl um drei Stellen nach links verschieben (was einer Multiplikation mit 8 entspricht), gefolgt von einer Addition der mit 2 multiplizierten (also um eine Stelle nach links verschobenen) Ursprungszahl.
Im Zehnersystem hingegen, hängt man einfach eine Null an die Ursprungszahl (die zuvor um eine Stelle nach links geschoben wurde).
Das verwendete Zahlensystem hat also Einfluss auf den Aufwand, der für eine Berechnung getrieben werden muss.
Bei Fließkommaopperationen wird der Aufwand immens und besonders 8-Bit Controller, wie die beliebten AVR, werden dadurch extrem ausgebremst.

Nun kann ein Computer ja nur mit Nullen und Einsen hantieren.
Da ist das binäre Zahlensystem natürlich genau das, was sich aufdrängt.

Wer mal versucht hat, mit DIP-Schaltern alle 256 möglichen Zustände nacheinander durchzuspielen, die 8 Bit ermöglichen, der wird frustriert feststellen, dass er weit mehr als 256 Schalterbetätigungen dazu benötigt.
Die Lösung wäre der Grey-Code. Bei diesem ändert sich immer nur ein einziges Bit, wenn die jeweils nächst höhere Zahl eingestellt werden soll.
Man ahnt schon, dass damit stromsparende Techniken denkbar wären.

Und so ganz grob dämmert mir, dass ein primzahlbasiertes Zahlensystem, das nur mit den Ziffern Null und Eins arbeitet, in speziellen Anwendungen erhebliche Vorteile haben könnte.


Ich wollte nur mal die Vision teilen. Vielleicht fühlt sich ja ein Mathematiker davon inspiriert ...
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2

Freitag, 6. März 2015, 09:46

Es wurde ja mal angeblich die größte Primzahl der Welt entdeckt: http://www.erlebnisland-mathematik.de/primzahl/
Man hat viele Freunde, wenn man sie zählt. Aber nur wenige, wenn man sie braucht!

Desi

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3

Freitag, 6. März 2015, 16:12

Das sagt aber rein gar nichts aus.
Denn wie der Artikel schon richtig erwähnt: Seit Euklid ist es bekannt, dass auf jede beliebig großen Primzahl stets eine noch größere Primzahl folgt.
Die logische Beweisführung ist so simpel, dass sie auch ein Schulkind locker versteht.

Wobei ich es schade finde, wie unklar der Artikel Euklids wundervollen Beweis beleuchtet. So richtig an der eigentlichen Pointe vorbei, finde ich.

Der erste Satz in dem von Dir verlinkten Artikel sagt im Grunde alles. So ist es und so wird es auch bleiben - es werden immer wieder noch größere Primzahlen gefunden.
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