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EDV-Dompteur

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1

Sonntag, 12. April 2020, 03:21

Lichterketten-Knobelei :-)

Hier was für Knobel-Freunde:

Selbst als gestandener Praktiker stößt man immer wieder mal auf scheinbar simple Aufgabenstellungen, die sich als verblüffend hartnäckig erweisen und einem Fachmann am Ehrgefühl kratzen.

Ein Kunde stellte mir vor Jahren mal ganz unschuldig eine (Zitat:) "dumme Frage" …
Er hatte eine Lichterkette gebaut. Also zwei parallel geführte Leitungen und in gleichmäßigen Abständen alle paar Zentimeter ein Abgriff für eine Lampe.

Seine Kette hatte 35m Länge, wurde an 12V betrieben und es waren 240 Lampen von je 1W bestückt, in exakt gleichmäßigen Abständen.
Da fällt natürlich eine nicht zu vernachlässigende Spannung über der Leitung ab, mit dem unschönen Effekt, dass die Lampen zum Ende der Lichterkette hin immer dunkler leuchteten, was ihn störte.

Was er in seiner "dummen Frage" zuerst von mir wissen wollte, war der nötige Drahtdurchmesser, um am Ende einen vertretbar geringen Spannungsabfall zu haben.
Und dann wollte er noch (und genau darum geht es bei dieser Knobelei) die allgemeine Formel von mir, um künftig auch Lichterketten anderer Länge und Gliederanzahl im Vorfeld durchrechnen zu können.

Lächerlich einfach, nicht wahr???
Diese Formel kann man doch im Nullkommanix herleiten, gelle?
- Das habe ich auch gesagt!
Glücklicherweise hatten wir dann beide anderes zu tun und so wichtig war es ihm auch nicht. Hätte ich ihm die gesuchte Formel vor seinen Augen herleiten müssen, hätte ich mich nämlich schwer blamiert!


Vereinfachen wir für die schöne Knobelaufgabe das Problem doch sogar noch ganz drastisch!
Wir gehen einfach davon aus, dass die Lampen sich wie ideale, lineare Widerstände verhalten. Also nicht wie reale LEDs (komplizierte Kennlinie), nicht wie reale Glühlampen (temperaturabhängiger Widerstand), sondern völlig banal, als ideale Widerstände.
Weiterhin gehen wir davon aus, dass die Spannung der Einspeisung bombenstabil ist (stabilisierte Spannungsquelle).

Und wir gehen auch davon aus, dass die Leitungswiderstände bereits bekannt sind. Denn diese auszurechnen, über den spezifischen Widerstand von Kupfer, Länge und Drahtdurchmesser, schütteln wir Profis uns schließlich sowieso im Schlaf aus dem Ärmel; damit halten wir uns jetzt gar nicht auf.


Gut, die Voraussetzungen wären geklärt.
Folgendes Bild zeigt in der obigen Schaltung das Prinzip einer wie eben beschrieben vereinfachten Lichterkette, mit drei Gliedern.
Wir haben also drei Lastwiderstände (Lampen); hier jeweils als Ra bezeichnet.
Die Widerstände der Leitung sind als Rb bezeichnet. Den Rb gibt es pro Glied natürlich jeweils zweimal: einmal oben (Hinleitung), einmal unten (Rückleitung).

Alle gleichnamigen Widerstände sind identisch.
Also alle Zuleitungswiderstände "Rb" haben identischen Wert.
Ebenfalls haben alle Lastwiderstände "Ra" identischen Wert (der aber verschieden ist, von den Rb).

Betrachtet man die obere Schaltung im Bild, so lassen sich offensichtlich jeweils zwei dieser Rb zusammenfassen. Sie liegen schließlich in Reihe, wie man sofort merkt, wenn man das Ding mal durchrechnen wollte.
Das habe ich in der unteren Schaltung dargestellt. Dort habe ich jeweils zwei Rb aus obiger Schaltung zu einem Rc (mit logischerweise doppeltem Wert) zusammengefasst.



Nun endlich zu der Knobelei:
Die Schaltung im Bild stilisiert ja beispielhaft eine Lichterkette mit nur drei Gliedern. Ich will aber die folgenden zwei, universell anwendbaren Formeln, für eine beliebige Anzahl identischer Glieder:

1) Die Formel für den Gesamtwiderstand "RG".
(Damit lässt sich später bequem der Gesamtstrom berechnen.)

2) Die Formel für die Ausgangsspannung am letzten Leuchtmittel, also dem ganz rechten Ra.
(Diese Spannung ist offensichtlich abhängig von der Eingangsspannung, der Anzahl der Glieder und den Werten der Widerstände Ra und Rc.)

Also:
RG (Gesamtwiderstand) = [Mathematischer Term Nr. 1]
UA (Ausgangsspannung) = [Mathematischer Term Nr. 2]

Diese beiden Formeln sind also gesucht. Wohlgemerkt für eine beliebige Anzahl Glieder! Und natürlich mit Herleitung/Beweis!
Offensichtlich muss das mathematisch elegant gehen, schließlich gibt es keinerlei Unstetigkeiten.

So, und jetzt zeigt mal, was Ihr könnt! :-)
(Ich verrate besser gar nicht, wie viele Stunden ich bereits daran gebrütet habe …)


Ach, vorsichtshalber noch was:
Wie in der Aufgabenstellung eindeutig beschrieben, sind die beiden FORMELN gesucht.
Eine Lösung mit einem Excel-Blatt zählt also nicht!
Auch ein iteratives/rekursives Brute-Force-Programm etc. zählt nicht!
Stellt Euch einfach vor, die Lösung solle als Formel in einem Tabellenbuch abdruckbar sein.

(Ach ja, und Googelei zählt ebenfalls nicht! Es ist eine Knobel-Aufgabe, die bitteschön auf ehrenwerte Weise fachmännisch gelöst werden will!)

Natürlich könnte man problemlos ein Programm schreiben, das jede beliebige Lichterkette komplett durchrechnet. Aber darum geht es nicht.
Mich hat damals einfach die Problemstellung an sich fasziniert, denn es hat an meiner Ehre gekratzt, dass ich mir diese Formeln eben nicht aus dem Ärmel schütteln konnte.
Ich betrachte es rein als mathematische Knobelaufgabe, mit realem, elektrotechnischen Bezug, die ich gerne mit Euch teilen möchte.
Das Problem sieht so banal aus und so alltäglich. Es wundert mich komplett, damit zuvor noch nie konfrontiert worden zu sein und dass ich über so ein scheinbar simples Problem überhaupt brüten musste!
Aber probiert es doch mal ...
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2

Sonntag, 12. April 2020, 04:01

Ach ja ... :-)

Was ich noch erwähnen muss (um mal schelmisch etwas zu sticheln):

Dieses Thema hatte ich vor ein paar Jahren mit einem befreundeten Ingenieur ausgiebig per E-Mail diskutiert.
- Er liest hier mit, ich nenne lieber keinen Namen ... aber die Stichelei in seine Richtung muss ich loswerden :016:

Besagter Ing. hat in meinen Augen damals völlig versagt, weil er mir zuletzt ein nicht nachvollziehbares Excel-Arbeitsblatt mit darin eingewurschteltem Weblink auf WolframAlpha.com präsentierte.
Obwohl ich die ganze Zeit insistierte, dass ausdrücklich die FORMELN gesucht sind, wollte er partout nicht einsehen, dass seine "Lösung" völlig inakzeptabel ist.

- Es geht nicht darum, die Lichterkette auf sonstwas für eine Weise irgendwie durchzurechnen zu können.
Sondern es geht darum, am Ende die beiden gesuchten Formeln auf ein Blatt Papier schreiben zu können (falls man je wieder von jemandem danach gefragt wird, das zu tun).

Übrigens habe auch ich kläglich versagt, denn ich könnte zwar eine konkrete Lichterkette (mühsam!) durchrechnen, aber die beiden allgemeingültigen Formeln, für eine beliebige Anzahl von Gliedern, kenne ich bis heute nicht.
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3

Freitag, 14. Mai 2021, 00:45

Servus Stefan,

hab nach langer Zeit mal wieder auf deiner Seite gestöbert und bin auf das ungelöste Thema hier gestoßen.
Es gibt ein paar verschiedene Verfahren, mit denen man das Problem lösen kann, wie das Maschenstromverfahren oder die Zweipoltheorie.

Für dich einfacher zu versehen und anzuwenden dürfte letzteres sein.
Dabei wandelt man Stromquellen in Spannungsquellen um und umgekehrt und wo dann möglich, fasst man dann Widerstände über Parallel- oder Serienschaltung zusammen.

Die Umwandlung der Schaltung kannst du hier im Bild sehen. Zu beachten ist, dass der Punkt den man ermitteln will unverändert bleibt. Hier die Spannung UA.
Es ergibt sich am Ende eine Ersatzspannungsquelle mit Ersatzinnenwiderstand, womit man dann ganz einfach über Spannungsteiler UA ausrechnen kann.



Hier dann die Formeln, die sich aus den Umwandlungen ergeben.

Formeln.jpg

Am Ende habe ich vom Tool noch 2 Umrechnungen / Vereinfachungen machen lassen. Ist aber trotzdem noch eine eher unübersichtliche Formel.
Das was dann die größere Herausforderung sein dürfte, ist die Herleitung für n Lampen. Das ist dann aber ein rein mathematisches Problem eine irgend geartete Reihe zu ermitteln...
Das Prinzip, wie man auf die Lösung kommt, sollte damit aber klar werden.
So richtig interessant wird es erst, wenn noch Blindwiderstände und Wechselspannung dazukommt. Dann muss man mit komplexen Zahlen rechnen. Lang, lang ist's her...


Gruß, Harald


4

Freitag, 14. Mai 2021, 09:20

Wenn du das aber mit 240 Lampen rechnen willst, dann ist das Maschenstromverfahren wahrscheinlich doch die einfachere und schnellere Lösung (zusammen mit einem Rechenprogramm oder Taschenrechner).
Wie das Maschenstromverfahren funktioniert findest im Internet. Gibt einige gute Videos.
Da die Schaltung recht einfach ist, sind die Maschen auch einfach und schnell in die Matrix eingetragen. Gut, es wird eine 240x240 Matrix...
Die Anzahl der Lampen legt also die Größe der Matrix fest. n Lampen => n x n Matrix
Hier mal ein Beispiel mit 5 Lampen:



PSPICE liefert mir das gleiche Ergebnis wie in der letzten Rechnung im Bild. Muss ja auch so sein; es verwendet ja auch dieses Rechenverfahren.
Die Strommatrix liefert die Ströme in dem jeweiligen Leitungsabschnitt. Damit lassen sich dann die Lampenströme und Spannungen ausrechnen.

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5

Montag, 17. Mai 2021, 10:55

Hallo Harald,

sorry für die späte Antwort!
Schön, dass sich endlich mal jemand an dieses Rätsel herangetraut hat, dickes Lob dafür!


Nun, wie schon erwähnt, besteht das Problem gar nicht darin, eine konkrete Lichterkette durchzurechnen.
Dazu schrieb ich in der Sprache "AutoIt" sogar mal ein Programm aus nur 22 Codezeilen, das den Job für eine beliebige Anzahl Glieder erledigt.

Quellcode

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Opt("MustDeclareVars", 1)   ;# Zwingt den Programmierer, Variablen ordentlich zu deklarieren, vor der ersten Benutzung.

global $iRa=0.2   ; Widerstand jedes einzelnen Leitungssements
global $iRb=100   ; Widerstand jeder einzelnen Lampe
global $in=240	; Anzahl der Glieder der Lichterkette

global $iRGalt	; Der vor dem aktuellen Schleifendurchlauf berechnete Gesamtwiderstand
global $iRGneu	; Der aktuell berechnete Gesamtwiderstand

ConsoleWrite(@CRLF & "Berechnung des Gesamtwiderstands einer Lichterkette mit n Gliedern:" & @CRLF)

$iRGalt = $iRa+$iRb  ; Gesamtwiderstand des letzten Gliedes in der Kette berechnen.
ConsoleWrite("n = 1  RG = " & $iRGalt & @CRLF)

for $i = 2 to $in
  $iRGneu = $iRGalt*$iRb / ($iRGalt+$iRb)                    	; Zuerst die Parallelschaltung berechnen, aus vorherigem Gesamtwiderstand (RGalt) und Rb
  $iRGneu = $iRGneu+$iRa                                     	; Dann noch die Reihenschaltung mit Ra berechnen
  ConsoleWrite("n = " & $i & "  RG = " & $iRGneu & @CRLF)
  $iRGalt = $iRGneu                                          	; Vorbereitung für nächsten Schleifendurchlauf
Next

ConsoleWrite(@CRLF)



Der Output meines Programms, hier beispielhaft für Kettenlängen von 1 bis 30 Glieder:

Quellcode

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Berechnung des Gesamtwiderstands einer Lichterkette mit n Gliedern:
n = 1  RG = 100.2
n = 2  RG = 50.2499500499501
n = 3  RG = 33.6442374411736
n = 4  RG = 25.3744767191948
n = 5  RG = 20.4389492528266
n = 6  RG = 17.170381574752
n = 7  RG = 14.8541995886543
n = 8  RG = 13.1330922524854
n = 9  RG = 11.8085329155288
n = 10  RG = 10.7613879438434
n = 11  RG = 9.91582980641184
n = 12  RG = 9.22129367887774
n = 13  RG = 8.64276181711354
n = 14  RG = 8.15521180846134
n = 15  RG = 7.74028555082847
n = 16  RG = 7.38420738468978
n = 17  RG = 7.07643701483667
n = 18  RG = 6.80877146468382
n = 19  RG = 6.57473062494229
n = 20  RG = 6.36912713397332
n = 21  RG = 6.1877591417586
n = 22  RG = 6.02718685446414
n = 23  RG = 5.88456735793361
n = 24  RG = 5.75753071931752
n = 25  RG = 5.64408580661562
n = 26  RG = 5.54254782321395
n = 27  RG = 5.45148192603597
n = 28  RG = 5.36965890518225
n = 29  RG = 5.29602001275735
n = 30  RG = 5.22964880544935


Das Problem ist, diese Funktionalität in eine (elegante!) Formel zu packen.

Wie Dir ja selbst aufgefallen ist, wird eine "geradeaus gestrickte" Formel rasch unübersichtlich. Schon für nur drei Glieder wird sie regelrecht unpraktikabel lang.
Bei vier, fünf Gliedern ist die resultierende Formel bereits unrealistisch umfangreich. Ganz zu schweigen von Lichterketten mit 100 und mehr Leuchtkörpern!
Es kann doch nicht sein, dass eine mathematische Formel schon für nichtmal 10 Glieder bereits wesentlich(!) umfangreicher ist, als obiges Programm, das den Job bei Bedarf für beliebig lange Ketten durchrechnet!

Wir suchen eine universelle Formel, in die lediglich noch die Anzahl der Gleider eingetragen werden muss!
Die Formel sieht also für beliebige Kettenlkängen immer identisch aus und unterschiedet sich je nach konkreter Kettenlänge nur in dem Wert für die Anzahl der Glieder!
- Das war die Aufgabe!


Meine Vermutung:
Stellt man sich mal eine unendlich lange Lichterkette vor, dann dämmert mir die vage Ahnung, dass es eine auf der Eulerschen Zahl e basierende Formel geben müsste, die das exakte Resultat liefert.
(Näherungswerte akzeptiere ich da nicht).
Nun ist eine reale Licherkette natürlich nicht unendlich lang. Entsprechend müsste die Formel angepasst werden.

Diese erwähnte "vage Ahnung" habe ich schon reichlich mit unserem Hubi diskutiert (der mathematisch unbestreitbar mehr auf dem Kasten hat, als meine bescheidene Wenigkeit) und er bestreitet es vehement, dass meine Vermutung zutreffen kann. Aber ich bin nach wie vor dieser Meinung, ich habe es einfach im Urin, dass es so sein wird.
In der derart aufgebauten Formel müsste die Zahl e vermutlich zwei Mal auftauchen und es muss noch ein unbekannter Korrekturfaktor mit rein, der die Funktion passend zurecht biegt - so jedenfalls meine Intuition.


Was Deine Herangehensweise betrifft, wundert mich, wieso Du die Kette offenbar von links nach rechts durchrechnest?!?
Ich habe aus Zeitgründen Deine Formeln gar nicht groß nachzuvollziehen versucht, wie ich gestehen muss (sie erschlagen das definierte Problem ja ohnehin nicht), aber ich finde es sehr viel naheliegender, die Kette "rückwärts" durchzurechnen, also vom letzten Glied angefangen, bis zum ersten.
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